Sejam $A$, $B$ e $C$ os ângulos de um triângulo. Mostre que

$\sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} = 4 \cdot \sin{A} \cdot \sin{B} \cdot \sin{C}$


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ITA IIIT 28/04/2022 20:46
$-$ Como os ângulos são de um triângulo: \begin{matrix} 2A &+& 2B &+& 2C &=& 360^{\circ} \end{matrix}Sabida as $\text{Fórmulas de Werner}:$ \begin{matrix} \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 2 \sin{(\frac{2A + 2B}{2})} \cos{(\frac{2A - 2B}{2})} + \sin{2C} \\ \\ \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 2 \sin{(A+B)} \cos{(A-B)} \ - \ \sin{2(A+B)} \end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ $\sin{(2\pi - x)} = -\sin{x} $ Continuando, \begin{matrix} \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 2 \sin{(A+B)} \cos{(A-B)} - 2 \sin{(A+B)} \cos{(A+B)} \\ \\ \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 2 \sin{(A+B)} \ . \ [\cos{(A-B)} - \cos{(A+B)}] \\ \\ \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 2 \sin{(C)} \ . \ [2 \sin{(A)} \sin{(B)}] \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ $\sin{(\pi - x)} = \sin{x} $ Portanto, \begin{matrix} \sin{2A} + \sin{2B} + \sin{2C} &=& 4 \cdot \sin{A} \cdot \sin{B} \cdot \sin{C} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}
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