Primeiramente, vamos adotar: $a = \sqrt[3]{3 +\sqrt{9+\frac{125}{27}}}$ , $b =\sqrt[3]{-3 +\sqrt{9+\frac{125}{27}}}$ e $a-b = k$ Sabemos que: $(a-b)^3 = a^3 -b^3 +3ab(b-a)$ Mas, $a^3 - b^3 = 6$ e $ab = \frac{5}{3}$ Assim, $k^3 = 6 -5k$ $k^3 +5k -6 = 0$ Perceba que 1 é raiz da equação acima, logo, fatorando, temos: $(k-1)(k^2 +k +6) = 0$ A equação $k^2 +k +6=0$ não tem raízes reais, logo, $ k = a-b = 1$ Dessa maneira, prova-se que $\sqrt[3]{3 +\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3 +\sqrt{9+\frac{125}{27}}}$ é racional