A priori, vejamos quantos números entre $1$ e $102$ são divisíveis por $3$, assim, seja essa quantidade de números igual a $x$: \begin{matrix} x = {{[\dfrac{102}{3}]}} &\therefore& x = 34 \ \text{números} \end{matrix}Com isso, é possível dividir o conjunto $A$ em três conjuntos auxiliares, cada um com $34$ elementos, os quais serão progressões aritméticas do tipo: \begin{matrix} a_1 &,& a_1 + 3 &,& a_1 + 2\cdot 3 &, & ...& ,& a_1 + n\cdot 3 \end{matrix}Atente que, escolher três números dessa $PA$ sempre nos dará um número divisível por $3$. Com isso, façamos os conjuntos auxiliares: \begin{matrix} B &=& \{1 ,4,7,...,100\} &,& C &=& \{2 ,5,8,...,101\} &,& D &=& \{3 ,6,9,...,102\} \end{matrix}Claramente, a união dos três conjuntos formam o conjunto $A$. Nesse viés, o que temos de fazer agora é dividir em casos: (1) escolher três números de um dos conjuntos, (2) escolher um número de cada conjunto. Desse modo, pode-se escrever: \begin{matrix} \text{Três números de B}: & C^3_{34} &=& 5974 \\ \text{Três números de C}: & C^3_{34} &=& 5974 \\ \text{Três números de D}: & C^3_{34} &=& 5974 \\ \text{Um número de cada}: & 34 \cdot 34 \cdot 34 &=& 39394 \\ \end{matrix}Somando tudo, seja o número total de subconjuntos igual a $n$, então: \begin{matrix} n = 5974 + 5974 + 5974 + 39394 &\therefore& n = 57256 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}