Se a equação enunciada tem raíz dupla, então podemos escrevê-la na forma$$(x-r_1)^2\cdot (x^2+ax+b)$$em que $r_1$ é a raíz dupla. Expandindo o produto, temos:$$(x^2 -2xr_1 + r_1^2)\cdot (x^2+ax+b)$$$$x^4+x^3(a-2r_1) + x^2(b-2ar_1+r_1^2) + x(-2br_1+ar_1^2) + r_1^2b$$$$\begin{cases} a-2r_1 = 0 \\ b-2ar_1 + r_1^2 = 0 \\ -2br_1+ar_1^2 = p \\ r_1^2b = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} a=2r_1 \\ r_1^2 = \frac{3}{b} \end{cases}$$Do sistema, temos:$$b - 2(2r_1)r_1 + r_1^2 = 0 \implies b = 3r_1^2 = \frac{9}{b} \implies \color{red}{b = \pm \space 3}$$$$b = 3 \implies \color{red}{(r_1, \space a) = (\pm \space 1, \space \pm \space 2)}$$$$b = -3 \implies \color{red}{(r_1, \space a) = (\pm \space i, \space \pm \space 2i)}$$ Para a equação, os valores assumidos por $a$ e $b$ implicam:$$b = 3 \implies (x\pm 1)^2\cdot \color{green}{(x^2\pm 2x + 3)}$$$$b = -3 \implies (x\pm i)^2\cdot \color{green}{(x^2\pm 2ix - 3)}$$E desta implicação, encontra-se as outras raízes da equação:$$x^2\pm 2x + 3 = 0 \implies (x \pm 1)^2 = -2 \implies \color{red}{x = \pm \space 1 \pm \sqrt {2\space} i}$$$$x^2\pm 2ix - 3 = 0 \implies (x \pm i)^2 = 2 \implies \color{red}{x = \pm \space i \pm \sqrt {2}}$$ Atentemo-nos agora aos valores que $p$ assume. Para $(r_1, \space a) = (1,2)$, temos:$$-2\cdot 3 \cdot 1 + 2\cdot 1^2 = \color{red}{\space p = -4}$$Para $(r_1, \space a) = (-1,-2)$, temos:$$-2\cdot 3 \cdot (-1) - 2\cdot 1^2 = \color{red}{\space p = 4}$$Para $(r_1, \space a) = (i,\space 2i)$, temos:$$-2\cdot (-3) \cdot i + 2i\cdot i^2 = \color{red}{\space p = 4i}$$Para $(r_1, \space a) = (-i,\space -2i)$, temos:$$-2\cdot (-3) \cdot (-i) - 2i\cdot i^2 = \color{red}{\space p = -4i}$$ Em suma, a solução é esta:$$\begin{cases} p = -4 \implies x = \{1,\space -1\pm \sqrt{2\space} i\} \\ p = 4 \implies x = \{-1,\space 1\pm \sqrt{2\space} i\} \\p = 4i \implies x = \{i,\space -i\pm \sqrt{2}\} \\p = -4i \implies x = \{-i,\space i\pm \sqrt{2}\} \\ \end{cases}$$