$-$ A questão requer apenas o conhecimento do princípio fundamental da contagem, com isso, vamos começar partindo do caminho $A$, e chamar as interseções das estradas principais com as estradas secundárias de $S_i$, em que $i =1,2,3,...,10$. Desse modo, vejamos: \begin{matrix} \text{Partindo de A} &: & \text{Duas opções} &-& \text{subir ou descer} \\ \text{Chegando em $S_1$}& : & \text{Duas opções} &-& \text{continuar ou pegar a secundária} \\ \text{Chegando em $S_2$}& : & \text{Duas opções} &-& \text{continuar ou pegar a secundária} \\ \vdots &&\vdots &&\vdots \\ \text{Chegando em $S_{10}$}& : & \text{Duas opções} &-& \text{continuar ou pegar a secundária} \\ \end{matrix}Atente que, após $S_{10}$ iremos chegar em $B$, e em todos os casos nós temos duas opções, logo, pelo princípio fundamental da contagem, o número $n$ de caminhos será: \begin{matrix}n = 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 = 2^{11} &\therefore& n = 2048 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}