Resolva a equação$$z^{5} = \overline{z}$$onde $\overline{z}$ é o conjugado do número complexo $z$.

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Nicholas Admin 16/10/2021 14:59
Excelente questão! Em primeira análise, pensamos na representação algébrica do número complexo $z$, e assim a equação fica:$$(a+bi)^5=a-bi$$Que poderia ser expandida (recorrendo ao Binômio de Newton) e assim comparados termos reais e imaginários, resultando em um sistema de duas equações e duas incógnitas ($a$ e $b$). No entanto, há outras formas de se representar o número complexo $z$, como a forma polar e a forma exponencial. Nessa questão é evidente a vantagem de se representar $z$ como $\rho e^{i\theta}\ (\rho\in\mathbb{R}^+,\ \theta\in\mathbb{R})$, uma vez que elevar à quinta potência é o mesmo que multiplicar $\theta$ por $5$ e elevar $\rho$ à quinta potência, enquanto para encontrar o conjugado de $z$ basta trocar o sinal de $\theta$. Para conferir a validade dessas relações recorrendo à forma algébrica, bastaria lembrar que $$\rho e^{i\theta}=\rho(\cos{\theta} + i\sin{\theta})=a+bi$$De forma que valem:$$\begin{cases}\bar{z} = \rho e^{-i\theta}=\rho(\cos{(-\theta)} + i\sin{(-\theta)})=a-bi\\ z^5 = \rho^5 e^{i5\theta}=\rho^5(\cos{(5\theta)} + i\sin{(5\theta)})=(a+bi)^5\end{cases}$$Enfim, escrevendo a equação do enunciado na forma exponencial:$$\rho^5 e^{i5\theta}=\rho e^{-i\theta}\\\begin{cases}\rho^5=\rho^1\\5\theta = -\theta + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\\\begin{cases}\rho=0\lor\rho=1\\\theta =\frac{2k\pi}{6}=\frac{k\pi}{3}\end{cases}$$Assim, voltando à forma algébrica:$$\boxed{z=0\lor z=\cos{\frac{k\pi}{3}}+i\sin{\frac{k\pi}{3}}, k\in\mathbb{Z}}$$
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