Utilizarei um resultado conhecido na Teoria dos Números, que relaciona as potências enésimas da razão áurea à sequência de Fibonacci: seja $\large\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, temos que$$\large\varphi^n = \varphi \cdot a_n + a_{n-1}, ~~\forall ~(n\geq 2) \in \mathbb{Z}$$em que $a_n$ é o termo enésimo da sequência de Fibonacci. Dessa forma, o que se propõe no problema é o mesmo que mostrar que $$\large{a_n < \varphi \cdot a_n + a_{n-1}}$$ Dividindo todos os membros da desigualdade por $a_n$, obtém-se: $$\large{1<\varphi + \frac{a_{n-1}}{a_n}} \implies \large{1- \varphi< \frac{a_{n-1}}{a_n}}$$E este resultado é óbvio e verdadeiro, visto que, como $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$, então $1- \varphi < 0$. Nesse sentido, como os números de Fibonacci são inteiros positivos, a razão $\large{\frac{a_{n-1}}{a_n}} > 0$, portanto, mostra-se que $$a_n < \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n$$