Fazendo $P(0)$ é evidente que $d=0$, logo $0$ é raiz. Por outro lado, utilizando a relação dada no enunciado, temos que para $x = 1$, também é raiz do polinômio. Então $$P(0) = P(1 - 0) = 0 = 1 + a + b + c \ (1)$$ $$P(-1) = 1 - a + b - c = 6 \ (2)$$ $$P(2) = 16 + 8a + 4b + 2c = 6 \ (3).$$ Somando as equações $(1)$ e $(2)$, obtemos $b = 2$. Dividindo a equação $(3)$ por 2 e somando a equação $(1)$, temos que $a = -2$ e $c = -1$. Logo: $$P(x) = x^4 -2x^3 + 2x^2 - x.$$