Resolução AFA 2017 Matemática

02 AFA 2017 - Matemática

O polinômio $P (x) = x^{3} + m x^{2} + n x + 12$ , é tal que $P (x) = 0$ admite as raízes $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$

Se $x_{1} \cdot x_{2} = - 3$ e $x_{2} + x_{3} = 5$ , então é correto afirmar que

P (m) = 0

m - n = - 13

m \cdot n = 20

n - 2 m = - 7

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Pelas relações de Girrard temos: $$-m=x1+x2+x3$$ $$n=x1.x2+x1.x3+x2.x3$$ $$-12=x1.x2.x3$$ Pela relação dada pelo enunciado e pela terceira relação de Girrard, temos que $x3=4$, assim $x2=1$ e $x1=-3$ Assim: $$m=-(-3+1+4)=-2$$ $$n=(-3).1+4.1+(-3).4=-11$$ Assim: $$-11-2.(-2)=-7=n-2m$$

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