Na cidade de Macapá, no Amapá, Fernando envia uma mensagem via satélite para Maria na mesma cidade. A mensagem é intermediada por um satélite geoestacionário, em órbita circular cujo centro coincide com o centro geométrico da Terra, e por uma operadora local de telecomunicação da seguinte forma: o sinal de informação parte do celular de Fernando direto para o satélite que instantaneamente retransmite para a operadora, que, da mesma forma, transmite para o satélite mais uma vez e, por fim, é retransmitido para o celular de Maria. Considere que esse sinal percorra todo trajeto em linha reta e na velocidade da luz, ; que as dimensões da cidade sejam desprezíveis em relação à distância que separa o satélite da Terra, que este satélite esteja alinhado perpendicularmente à cidade que se encontra ao nível do mar e na linha do equador. Sendo, , massa da Terra, , período de rotação da Terra, , raio da Terra e , a constante de gravitação universal, o intervalo de tempo entre a emissão do sinal no celular de Fernando e a recepção no celular de Maria, em função de , , , e é


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Igor Ribeiro 26/07/2023, 01:56
A distância entre a cidade e o satélite é a altitude $h$ em que este se encontra, que é determinado calculando o raio orbital da Terra, e subtraindo $R_T$ :$$\dfrac{G\cdot M\cdot m}{(R_T + h)^2} = m\cdot \left(\dfrac{2\pi}{\Tau} \right)^2 \cdot (R_T + h) \implies h = \sqrt[3]{\dfrac{\Tau^2 GM}{4\pi^2}~} - R_T$$ Em linha reta, o sinal percorre de Fernando para o satélite; do satélite para o prédio da operadora; da operadora para o satélite; e do satélite para Maria. Ou seja, a distância $h$ é percorrida $4$ vezes, à velocidade da luz $c$ . Matematicamente, sendo $\Delta t$ o que se pede na questão, conclui-se que:$$c = \dfrac{4h}{\Delta t} \implies \Delta t = \dfrac{4}{c} \cdot h \implies \boxed{\Delta t ~=~ \dfrac{4}{c} \left( \sqrt[3]{\dfrac{\Tau^2 GM}{4\pi^2}~} - R_T \right)}$$
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