Da equação, temos que $\log_4 {x} \cdot \log{x} = \large{\frac{(\log {x})^2}{\log {4}}}$ $= \log {16} + \log{x}$. Seja $\log {x} = a$ e $\log 4 = b$, temos: $\large{\frac{a^2}{b}}$ $= 2b + a$ $\implies$ $a^2 - ab = 2b^2$. Completando o quadrado, temos: $\large{(a-\frac{b}{2})^2 = 2b^2 + \frac{b^2}{4} = \frac{9b^2}{4}}$ $\implies$ $\large{|a-\frac{b}{2}| = \frac{3b}{2}}$ $\implies$ $a = \{ -b, 2b \}$. Assim, temos: $\log{x_1} = -\log{4} = \log{\frac{1}{4}}$ $\implies$ $x_1 = \frac{1}{4}$ ; e $\log{x_2} = 2\cdot \log {4} = \log{16}$ $\implies$ $x_2 = 16$. A soma portanto é: $\boxed{\large{x_1 + x_2 = \frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}}}$ Alternativa $\mathbb{(C)}$