Numa P.A., a soma dos primeiros termos é e a soma dos últimos é . Sabendo-se que a sucessão tem termos, concluímos que a razão dessa P.A é:
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A soma dos termos desta P.A. é $\Large{\frac{(a_1 + a_{30})\cdot 30}{2}}$ $ = 15\cdot (2a_1 + 29r)$ $ = 1500$, assim encontramos que:
$2a_1 + 29r = 100$, sendo $r$ a razão da sucessão. Além disso, de acordo com enunciado:
$\large{\frac{(a_1 + a_{15})\cdot 15}{2}}$ $= 300$ $\implies$ $a_1 + a_{15} = 2a_1 + 14r = 40$. Assim, encontra-se um sistema $2X2$, que pode ser facilmente resolvido:
$2a_1$ $=$ $40 - 14r$ $=$ $100 - 29r$ $\implies$ $15r = 60$, portanto $\large{\boxed{r = 4}}$
