Antes de mais nada, podemos definir $ \pu{n = 4k} $, pois é nos dito que "n" é multiplo de 4. Observando a soma dada, podemos interpretá-la da seguinte forma: $$ \pu{i^0 - i^1 + i^2 - i^3 + i^4 - (\cdot \cdot \cdot ) + {(-1)}^n.i^n } $$ Assim, vamos que se trata de uma Progressão Geométrica(P.G.) de razão: $ \pu{q = {(-1)}^n.i^n} , n \ge 0 $ Portanto, podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma P.G., que é dada por: $$ S_{n} = \frac{a_{1}.(q^n-1)}{q-1} = \frac{i^0.[(-i)^{n+1}-1]}{(-i)-1} = \frac{(-1).[(-i)-1]}{i+1} = 1 $$ Logo, gabarito letra B! Esclarecimento: 1) $\pu (-i)^{n+1} = (-1)^{n+1}.(i)^{n+1} = (-1)^{4k+1}.(i)^{4k+1} = (-i) $ Lembrando que o número da forma $\pu{(4k + 1)}$ é ímpar.

Fatorando a expressão dada: $1 - i + i^2 - i^3 + i^4 -...+(-1)^n\cdot i^n $ $ =(1 - i) + (i^2 - i^3) + (i^4 - i^5)...+ (i^{n-2}- i^{n-1}) + (-1)^n\cdot i^n $ $ =(1-i) + i^2(1-i) + i^4(1-i) +... + i^{n - 2}(1-i) + (-1)^n \cdot i^n $ $ = (1-i)(1+ i^2 + i^4 + i^6 +... + i^{n - 2}) + (-1)^n \cdot i^n $ Utilizando a fórmula da Soma da PG finita temos que $\left(1-i\right)\left(1 + \dfrac{i^2((i^2)^{(n-2)/2} - 1)}{i^2 - 1}\right) + (-1)^n \cdot i^n$ $\left(1-i\right)\left(\dfrac{i^2 - 1+ i^2(i^{(n-2)} - 1)}{i^2 - 1}\right) + (-1)^n \cdot i^n$ Perceba que como $n$ é múltiplo de $4$ , temos que $(-1)^n \cdot i^n = 1$ e $i^{(n-2)} = -1$ $\left(1-i\right)\left(\dfrac{i^2 - 1+ i^2(i^{(n-2)} - 1)}{i^2 - 1}\right) + (-1)^n \cdot i^n$ $\left(1-i\right)\left(\dfrac{i^2 - 1+ i^2(-1 - 1)}{i^2 - 1}\right) +1 $ $\left(1-i\right)\left(\dfrac{-i^2 - 1}{i^2 - 1}\right) +1 $ Note que $-i^2 - 1 = 0$ $\therefore$ $ \left(1-i\right)\left(\dfrac{-i^2 - 1}{i^2 - 1}\right) +1 $ $ = \boxed{1}$ $\textbf{Resposta : Letra B}$