Utilizando-se de transformações trigonométricas, obtém-se: $\sin {3x} + \sin {5x} = 2\cdot \sin {(\frac{3x+5x}{2})}\cdot \cos {(\frac{5x-3x}{2})}$ $=$ $2\cdot \sin {4x} \cdot \cos {x}$ E também: $\cos {6x} - \sin {2x} = -(-2\cdot \sin {(\frac{6x+2x}{2})}\cdot \sin {(\frac{6x-2x}{2})})$ $=$ $2\cdot \sin {4x} \cdot \sin {2x}$ Logo, temos: $2\cdot \sin {4x} \cdot \cos {x}$ $=$ $2\cdot \sin {4x} \cdot \sin {2x}$ Soluções: $(i)$ $\sin{4x}=0$ $\implies$ $4x=k\pi$, logo $x=\frac{k\pi}{4}$, $k\in \mathbb{Z}$. Ou: $\sin {4x}\neq 0$ $\implies$ $\cos {x}$ $=$ $\sin {2x}$ $=$ $2\cdot \sin{x} \cdot \cos{x}$. Temos: $(ii)$ $\cos {x} = 0$, logo $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ Ou: $(iii)$ $\cos {x}\neq 0$, logo $\sin {x}=\frac{1}{2}$ $\implies$ $x = \frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{6}+2k\pi$ Agora, analisando os resultados encontrados em $(i)$ , $(ii)$ e $(iii)$ , é fácil ver que: Todos os elementos em $(ii): x=\frac{\pi}{2}+k\pi$, também pertencem ao item $(i):x=\frac{k\pi}{4}$, este último que é uma condição necessária do problema. Já no item $(iii)$, temos duas proposições que são equivalentes $k\pi+(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{6}$. E esta equivalência é possível provar por indução ou simplesmente testando para k par, k ímpar, e percebendo que os arcos encontrados são sempre côngruos de $x=\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\}$, para $k\geq3$, ou $k\leq-3$, ou iguais a $x=\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\}$, para $-2\leq x\leq 2$. Letra $\mathbb {A}$