$21^n = 3^n \cdot 7^n$ Percebamos que a quantidade de múltiplos de $3$ no $2020!$ é suficientemente grande, ao ponto de não precisarmos quantificá-los. Assim, apenas nos atentemos aos múltiplos de $7$ . Calculemos a quantidade de múltiplos de $7$ , no intervalo $[1,2020]$ . $7 + 7(n_7-1) = 2016$ (último divisível por $7$) , temos $n_7 = 288$. Calculemos a quantidade de múltiplos de $7^2 = 49$ , no mesmo intervalo. $49 + 49(n_{49}-1) = 2009$ (último divisível por $49$) , temos $n_{49} = 41$. Calculemos a quantidade de múltiplos de $7^3 = 343$ , no mesmo intervalo. $343 + 343(n_{343}-1) = 1715$ (último divisível por $343$) , temos $n_{343} = 5$. O maior valor inteiro de $n$ é: $n_7 + n_{49} + 2n_{343} - 5$ $=$ $288 + 41 + 10 - 5 = \boxed{n_{max} = 334}$ Alternativa $\mathbb{(C)}$ EXPLICAÇÃO da operação acima: Perceba que primeiro calculei os múltiplos de $7$, mas estes incluem também os múltiplos de $7^2$ e $7^3$ . No entanto, para o $7^2$ ($7\cdot 7$) devemos contar dois dígitos $7$ no produto do fatorial de $2020$. E para o $7^3$, são três dígitos ($7\cdot 7\cdot 7$). Então, para encontrar o máximo valor de $n$ , simplesmente somei a quantidade de múltiplos de $7$ com a quantidade de múltiplos de $7^2$ (assim, duplicando a quantidade de dígitos para esses casos), e por último, somei o dobro da quantidade de múltiplos de $7^3$ (assim, teríamos o três dígitos de $7$ para esses casos). Só que, a partir do $7^2$, há múltiplos como $7\cdot 7^2$ , $14\cdot 7^2$ , até o $\space$ $35\cdot 7^2$ , ou seja, cinco múltiplos excedem a ideia proposta, então apenas subtraí cinco unidades.