Em uma brincadeira entre amigos, Douglas anotou, em cada papelzinho, todos os números complexos , tais que e , em que representa o conjugado de , além de respostas de outros exercícios que não envolvem números complexos. Feito isso, ele colocou todas as respostas em uma urna. Calcule a probabilidade de um amigo de Douglas retirar uma solução qualquer que apresente uma solução complexa. Suponha que a chance de retirar qualquer papelzinho da urna seja a mesma.
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mesmo! 
Seja $w$ o conjugado de $z$ temos:
$$|\frac{z}{w}+\frac{w}{z}|=1$$
$$\frac{|z²+w²|}{|zw|}=1$$
Sabendo que:
$$z.w=|z|²$$
$$|z²+w²|=1$$
Seja $z=x+yi$ e $w=x-yi$
$$|x²+2xyi-y²+x²-2xyi-y²|=1$$
$$2|x²-y²|=1$$
$$y²=x² \pm \frac{1}{2}$$
Temos que dividir em dois casos grandes.
Seja $x>0$, temos:
$$z=x+\sqrt{x²+\frac{1}{2}}$$
$$z=x+\sqrt{x²-\frac{1}{2}}$$
$$z=x-\sqrt{x²+\frac{1}{2}}$$
$$z=x-\sqrt{x²-\frac{1}{2}}$$
Seja $x<0$, temos:
$$z=-x+\sqrt{x²+\frac{1}{2}}$$
$$z=-x+\sqrt{x²-\frac{1}{2}}$$
$$z=-x-\sqrt{x²+\frac{1}{2}}$$
$$z=-x-\sqrt{x²-\frac{1}{2}}$$
Assim o espaço amostral é de $7+8$, assim a probabilidade fica em:
$$\frac{8}{15}$$
