Seja $z = x + yi$ . Do enunciado, temos: $C_1 : (x-5)^2 + (y-4)^2 = 4$ . Ou seja, é equação da circunferência $C_1$ , de centro $(5,4)$ e raio $2$ . Nesse sentido, a ideia é encontrar o máximo valor de $\sqrt {(x+7)^2 + (y+1)^2 \space} = r$ . Ou seja, encontrar esse máximo é a mesma coisa que maximizar o raio da equação da circunferência $C_2$ , de centro $(-7,-1)$ e raio $r$ . Mas esta maximização do raio deve ser tal que $z$ seja um ponto pertencente à $C_1$ . Assim, o máximo valor numérico do raio só pode ser $C_1 C_2 + 2$ . $C_1 C_2 = \sqrt{(5+7)^2 + (4+1)^2 \space} = 13$ $\implies$ $C_1 C_2 + 2 = 15$ Portanto, $\boxed{\text{máx}\left\{\sqrt {(x+7)^2 + (y+1)^2 \space} \right\} = 15}$