Um cilindro circular reto tem área total A, raio da base e altura . Se o volume máximo desse cilindro é expresso por um número real m e a função da variável real é definida por , pode-se dizer que f(m) vale:
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Área total:
$$A=2\pi.r(h+r)$$
$$h=\frac{A}{2\pi.r}-r$$
Volume:
$$V=\pi.r².h=\pi.r²(\frac{A}{2\pi.r}-r)$$
$$V=\frac{Ar}{2}-\pi.r³$$
Derivando V e igualando a zero para achar seu máximo, temos:
$$\frac{A}{2}-3\pi.r²=0$$
$$r=\sqrt{\frac{A}{6.\pi}}$$
Trocando $r$ na formula de $V$ e elevando ao quadrado temos que:
$$V²=\frac{A³}{54\pi}=m²$$
$$f(x)=(2.\pi.\frac{A³}{54.\pi})^{\frac{1}{3}}+1$$
$$f(x)=\frac{A}{3}+1=\frac{1}{3}(A+3)$$
