Vamos achar o máximo da função, para isso devemos derivar essa equação e igula-la a $0$, derivando ficamos com: $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{r²+h²}}(2r+2h)=0$$ Como $r$ e $h$ não assumem valores negativos devemos apenas ficar com o módulo deles, assim: $$|r|=|h|$$ Então o volume máximo do cilindro será quando $r=h$. Temos que a área lateral do cilindro, ignorando uma circunferência (sem tampa) é: $$2hr\pi + r²\pi=54a²\pi$$ $$3r²=54a²$$ $$r=3\sqrt{2}a$$ Portanto: $$\sqrt{18a²+18a²}=6a$$