Primeiro, calculemos a inversa de $f$ : $\large{x = \frac{100}{1+2^{-f^{-1} (x)}}} $ $\implies$ $\large{2^{-f^{-1}(x)} = \frac{100-x}{x}}$, logo: $\large{f^{-1}(x) = \log_2{ \left(\frac{x}{100-x} \right)}}$. Assim, podemos encontrar $f^{-1}(90) = \log_2{9} = 2\cdot \log_2{3}$. Conclui-se, então, que a composta $g(f^{-1}(90)) = \large{2^{\frac{2\cdot \log_2{3}}{2}}}$ $ = $ $ \large{2^{\log_2{3}}}$ $ =$ $\boxed{3}$ Alternativa $\mathbb{(B)}$