Pelo fato de haver a paralela, é possível concluir que $\Delta APN$ é equilátero de lado $b$ No triângulo $ABC$ chamando seu lado de $L$ e usando a fórmula de áreas para um triângulo qualquer e a fórmula conhecida de cálculo de área em função do lado do triângulo equilátero, temos $$\frac{L^2 \sqrt 3}{4} = \frac{L^3}{4r} \Rightarrow$$ $$L=r \cdot \sqrt 3$$ Pela lei dos senos no triângulo $MPB$: $$\frac{L-b}{\sin{\pi / 6}} = \frac{2r}{\sin{2\pi / 3}}$$ $$\frac{\sqrt 3}{2} ( L-b) = r$$ Substituindo $L$: $$\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 \cdot r - \sqrt 3 \cdot b = 2r \Rightarrow b = \frac{r}{\sqrt 3}$$ Portanto $$S=b^2 \frac{\sqrt 3}{4} \Rightarrow S = \frac{r^2 \sqrt 3}{12} (Letra \ E)$$