Consideremos a notação $w=cis$ $(\frac{2\pi}{3})$ $=$ $\cos {(\frac{2\pi}{3})}+i\cdot \sin {(\frac{2\pi}{3})}$. Quanto ao determinante da matriz A: $\det {(A)} = w^{2}+w$ $=$ $w\cdot (w+1)$ Em $w+1$, utilizarei uma propriedade de números complexos na forma trigonométrica¹ : $w+1$ $=$ $cis$ $(\frac{2\pi}{3}) + 1$ $=$ $2\cdot \cos{(\frac{\pi}{3})}$ $\cdot$ $cis$ $(\frac{\pi}{3})$. É evidente que $\cos {(\frac{\pi}{3})}=\frac{1}{2}$, logo $w+1$ $=$ $cis$ $(\frac{\pi}{3})$. Obtém-se, então, que $w\cdot (w+1)$ $=$ $cis$ $(\frac{2\pi}{3})$ $\cdot$ $cis$ $(\frac{\pi}{3})$ $=$ $cis^{3}$ $(\frac{\pi}{3})$ $=$ $cis$ $(\pi)$ Finalmente, temos: $\det {(A)}$ $=$ $cis$ $(\pi)$ $=$ $\cos {(\pi)}+i\cdot \sin {(\pi)}$ $=$ $-1$ $\boxed {\det {(A)}=-1}$ Alternativa $\mathbb {(C)}$ ¹ Existe uma demonstração desta propriedade no livro Matemática Em Nível IME ITA - Complexos e Polinômios - Caio Guimarães.