Como A tem ordem 3 podemos usar a propriedade dos determinantes para produto matriz escalar $$det(x A)=x^n det(A)$$ Onde n e a ordem da matriz como no caso da questão a matriz tem ordem 3 podemos aplicar essa relação na expressão original e chegamos em: $$det(raiz[3](2) x^2 A) = 2 x^6 det (A)$$ $$det(x A^3) = x^3 (det A)^3$$ $$det(A^2)=(det(A))^2$$ Expressão final: $$2x^6 det(A) + x^3 (det(A))^3 - (det(A))^2=0$$ Dividindo a Eq por $det(A)$ $$2x^6 + x^3 (det(A))^2 - det(A)=0$$ Substituindo $x^3 = y$ $$2y^2 + y (det(A))^2 - det(A)=0$$ Para $x$ ter apenas um valor nos reais o descriminante dessa equação tem de ser 0, $Δ=0$ logo: $$Δ = 0 = ((det(A)^2)^2 - 4 . 2(-det(A))$$ $$(det(A))^4) = -8 det(A)$$ $$(det(A))^3) = -8$$ $$(det(A)) = -2$$ Substituindo na Eq original: $$2y^2 + 4y +2=0$$ Dividindo a Eq por 2 $$y^2 + 2y + 1=0$$ Que tem como unica raiz $-1$ Logo $detA + x = -2 + (-1)=-2-1=-3$ Gabarito, $-3$, Letra $C$

$A$ é uma matriz de ordem $3$ $\implies$ $\det(k\cdot A^n) = k³ \cdot \det^n A$ , assim, reescrevamos a equação enunciada: $$2x^6 \cdot \det A \space +\space x³ \cdot (\det A)^3 \space = \space (\det A)^2 $$Do enunciado, conclui-se que $\det A \neq 0$ , visto que, do contrário, teríamos infinitas soluções em $x$ . Logo, dividamos a equação por $2\det A$ e completemos o quadrado: $$x^6 \space +\space x³ \cdot \frac{\det^2 A}{2} \space = \space \frac{\det A}{2} \implies \left(x^3 + \frac{\det^2 A}{4} \right)^2 \space =\space \frac{\det^4 A}{16} + \frac{\det A}{2} \space=\space 0$$Perceba que eu assumi a expressão acima igual a zero, pois, o quadrado de uma expressão, para soluções reais, é sempre maior ou igual a zero e, sendo este último, tornará $x$ único, no caso deste problema. Novamente, como $\det A \neq 0$, então resolve-se a equação abaixo: $\large{\frac{\det^3 A}{16} + \frac{1}{2}}$ $= 0$ $\implies$ $\det^3 A = -8$ $\implies$ $\color{red}{\det A = -2}$. $\space$ Além disso, $x^3 + \large{\frac{\det^2 A}{4}}$ $= 0$, então: $$x^3 = -\frac{\det^2 A}{4} = -1 \space, \space x \in \mathbb{R} \space, \space \color{red}{x = -1}$$Em suma, $\boxed{x + \det A = -1+(-2) = -3}$