$z$ pode ser escrito como $$z=|z| cis θ$$ Podemos determinar $θ$ através de $$θ=arctan(a/b)$$ Como $z=5-5i$ $$θ=arctan(5/(-5))=-π/4$$ E o módulo será: $$|z|^2 = a^2 + b^2 = 5√2$$ $$z=5√2 cis(-π/4)$$ E para o conjugado: $$z*=5√2 cis(π/4)$$ Por propriedade: $$f(n) = (5√2)^{(2n+1)} cis(π(2n+1)/4) + (5√2)^{(2n+1)} cis(-π(2n+1)/4)$$ $$f(n) = (5√2)^{(2n+1)} |2 cos(π(2n+1)/4)|$$ $$f(n) = (5√2)^{(2n+1)} |cos(π(2n+1)/4) |$$ Por propriedade trigonométrica qualquer valor $n$ na função $|cos(π(2n+1)/4)|$, vira √2/2, logo a soma será: $$S= 2 √2/2 [ (5√2)^3 + (5√2)^5 + ... + (5√2)^41]$$ $[ (5√2)^3 + (5√2)^5 + ... + (5√2)^41]$ , é uma PG de razão $(5√2)^2$ Logo: $$S= √2 [ (5√2)^3 ((5√2)^40 - 1)/((5√2)^2 -1) = √2 [ (5√2)^3 ((5√2)^2)^{20} -1)/({(5√2)^2 -1)}= 500(50^{20} -1)/49$$ Que resulta na alternativa, $D$

Do enunciado, temos: $|z| = 5\sqrt {2}$, logo $z = 5\sqrt {2} \cdot \text{cis}(\frac{5\pi}{4})$ . Assim: $z^{(2n+1)} = (5\sqrt {2})^{2n+1} \cdot \text{cis}(\frac{5(2n+1)\pi}{4})$ $\overline{z}^{(2n+1)} = (5\sqrt {2})^{2n+1} \cdot\text{cis}(- \frac{5(2n+1)\pi}{4})$, logo: $\left|z^{(2n+1)} + \overline{z}^{(2n+1)} \right| \space = \space 2\cdot (5\sqrt {2})^{2n+1} \cdot\left|\cos \left(\frac{5(2n+1)\pi}{4} \right) \right|$, assim, seja $g(n) = \left|\cos \left(\frac{5(2n+1)\pi}{4} \right) \right|$ : $$f(n) \space = \space 2\cdot (5\sqrt {2})^{2n+1} \cdot g(n)$$ Observemos: $g(1) = g(2) = \cdots = g(20) = \large{\frac{\sqrt 2}{2}}$ , finalmente: $f(n) = \sqrt 2 \cdot (5\sqrt {2})^{2n+1}$ . Desse modo: $f(1)+f(2)+\cdots + f(20) \space = \space \sqrt 2 \cdot [(5\sqrt {2})^{3} + (5\sqrt {2})^{5} + \cdots + (5\sqrt {2})^{41}]$ $(5\sqrt {2})^{3} + (5\sqrt {2})^{5} + \cdots + (5\sqrt {2})^{41}$ é uma P.G. de primeiro termo $(5\sqrt 2)^3$ e razão $(5\sqrt 2)^2$ , assim: $f(1)+f(2)+\cdots + f(20) = \Large{\frac{\sqrt 2 \cdot (5\sqrt 2)^3 [(5\sqrt 2)^{40} \space - \space 1] }{(5\sqrt 2)^2 \space - \space 1}}$ $=$ $\boxed{\frac{500 (50^{20} - 1) }{49}}$ Alternativa $\mathbb{(D)}$