Perímetro de $R \space = \space 2\cdot (a+b) = 8$ $\implies$ $a+b = 4$ Logo: $9x^2 - 5x^4 + 8x - 8x^3 = 4$ $\implies$ $-5x^4 - 8x^3 + 9x^2 + 8x - 4 = 0$ . Ao pesquisar raízes racionais, encontra-se $-1$ e $1$ como raízes desse polinômio. Entretanto, não satisfazem as condições de $a$ e $b$ , visto que $a, \space b \in \mathbb{R^*_+}$ . Nesse sentido, procuremos outras raízes do polinômio. $(x^2-1)(px^2 + qx + r) \space =\space -5x^4 - 8x^3 + 9x^2 + 8x - 4 \space =\space 0$ No desenvolvimento, temos $p = -5$ , $q = -8$ e $r = 4$ . Assim: $-5x^2 + -8x + 4 = 0$ $\implies$ $\large{x^2 + \frac{8}{5} - \frac{4}{5}}$ $=$ $0$ , completando o quadrado, fica: $\large{\left(x + \frac{4}{5} \right)^2}$ $=$ $\large{\left(\frac{6}{5} \right)^2}$ $\implies$ $x = \large{\frac{-4\space \pm \space 6}{5}} = \{\frac{2}{5}, \space -2\}$ Entretanto, o $-2$ não satisfaz as condições de $a$ . Portanto, temos que $x = \Large{\frac{2}{5}}$ . Em suma: $\large{a = \frac{4}{25} \cdot \left(9 - 5\cdot \frac{4}{25} \right)} = \frac{4}{25} \cdot \frac{41}{5} = \boxed{\frac{164}{125}}$ $\large{b = \frac{16}{5} \cdot \left(1 - \frac{4}{25} \right)} = \frac{16}{25} \cdot \frac{21}{25} = \boxed{\frac{336}{625}}$