$$(2\cos^2 x - 1)^2~=~4\cos^4x-4\cos^2x+1~=~3-\cos^6x-5\cos^2x$$Temos$$\cos^6x+4\cos^4x+\cos^2x-2~=~(\cos^2x+1)(\cos^4x+3\cos^2x-2)~=~0$$Sendo $\cos^2x \neq -1$, tem-se$$\cos^4x+3\cos^2x~=~2 \implies \left(\cos^2x+\dfrac{3}{2}\right)^2~=~2+\dfrac{9}{4}~=~\dfrac{17}{4}$$Encontra-se$$\left|\cos^2x+\dfrac{3}{2}\right|~=~\dfrac{\sqrt{17}}{2} \implies \cos^2x~=~\dfrac{\sqrt{17}-3}{2} \implies \cos x~=~\pm~\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}}$$Conclui-se que existem 4 soluções em $x \in \mathbb{R}$, distintas, pois, situam-se em diferentes quadrantes do plano cartesiano.$$\bf{Alternativa~(C)}$$