Assumindo que a moeda não seja viciada, isto é, que os eventos $cara$ e $coroa$ sejam equiprováveis; a probabilidade de uma moeda dar cara ou coroa é $1/2$ para cada lançamento. Assim, interessa-nos saber a probabilidade total de lançamentos resultando em duas caras em que o número de lançamentos seja par, logo, existem duas restrições:\begin{align*} \text{1º:} & \ \text{O número de lançamentos deve ser par} \\ \text{2º:} & \ \text{O último lançamento sempre deve ser Cara} \end{align*}Observe que a segunda restrição é muito importante, pois é dela que se visualiza as permutações possíveis para cada caso. Por exemplo, dado $4$ lançamentos, deve-se ter duas $caras$ e duas $coroas$, ou seja, uma $cara$ será o último lançamento, enquanto a restante pode permutar por $3$ posições, veja:\begin{align*} \{C, K, K, C\} \\ \{K, C, K, C\} \\ \{K, K, C, C\} \end{align*}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Admitiu-se $C$ como $cara$ e $K$ como $coroa$. Agora, é importante perceber que isso será uma recorrência, vamos supor que $P_n$ seja a probabilidade de duas caras dado $n$ jogadas, então:\begin{matrix} P_2 &=&1 \cdot (1/2)^2 \\ P_4 &=&3 \cdot (1/2)^4 \\ P_6 &=&5 \cdot (1/2)^6 \\ P_8 &=&7 \cdot (1/2)^8 \\ \vdots && \vdots \\ P_n &=& (n-1) \cdot (1/2)^n \end{matrix}Repare que $n$ é um valor imensurável, logo $P_n \rightarrow 0$, assim como:\begin{matrix} P_{total} = P_2 + P_4 + P_6 + P_8 + \cdots \end{matrix}Nesse momento, é importante ter conhecimento sobre $\text{PAGs}$, dado que a soma acima é uma progressão aritmético-geométrica de infinitos termos. A fim de contornar a situação, é sistemático fazer:\begin{matrix} P_{total} &=& 1 \cdot (1/2)^2 &+& 3 \cdot (1/2)^4 &+& 5 \cdot (1/2)^6 &+& \cdots \\ (1/2)^2P_{total} &=& 1 \cdot(1/2)^4 &+& 3 \cdot (1/2)^6 &+& 5 \cdot(1/2)^{8} &+& \cdots \\ \hline P_{total} [1 - (1/2)^2 ] &=& (1/2)^2 &+& 2 \cdot (1/2)^4 &+& 2 \cdot (1/2)^6 &+& \cdots \end{matrix}Ou seja,\begin{matrix} \left(\dfrac{3}{4}\right)P_{total} = \left(\dfrac{1}{4}\right) + 2\underbrace{\left[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^6 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^8 + \cdots \right]}_{\text{PG infinita}} \end{matrix}Conhecida a soma de uma progressão geométrica infinita, segue:\begin{matrix} \left(\dfrac{3}{4}\right)P_{total} = \left(\dfrac{1}{4}\right) + 2 \left[\dfrac{(1/2)^4}{1 - (1/2)^2}\right] \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} P_{total} = \dfrac{5}{9} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}