É uma questão muito interessante do ponto de vista físico. Perceba, primeiramente, que com "muitas reflexões elásticas" o enunciado se refere basicamente ao momento em que a esfera não tem mais energia para refletir no chão e subir. Em uma colisão parcialmente elástica com o solo, o que faz com que a esfera não suba até sua altura máxima novamente após o contato é o fato que ela dissipa energia na colisão. No entanto, trata-se de uma colisão perfeitamente elástica, onde não há dissipação de energia no contato com o solo. Nesse caso, o que faz com que o movimento tenha um fim e não se torne um MHS em que a esfera apenas sobe, cai novamente e sobe novamente até a mesma posição é a resistência do ar, que funciona, basicamente, como uma "força de atrito do ar", ou seja: enquanto a esfera sobe a força de resistência do ar aponta para baixo, e enquanto a esfera desce a resistência do ar se mostra para cima. Essa força freia a esfera, a cada subida diminui sua energia, fazendo com que esse movimento tenha um fim após um número suficiente de reflexões. Levando essa teoria para cálculos, no momento de subida temos que tanto o peso quanto a força de resistência do ar estarão para baixo, assim: $$P + F = ma \Rightarrow a = \frac{(P + F)}{m}$$ E então podemos fazer conservação de energia: $$Emec_{i} = Emec_{f} \Rightarrow \frac{mv_0^2}{2} = mah_0 \Rightarrow \boxed{h_0 = \frac{Pv_0^2}{2g(P + F)}}$$ E na descida, o peso estará para baixo e a resistência do ar para cima, então, analogamente: $$a = \frac{P - F}{m} \Rightarrow (P + F)h_0 = (P - F)h_1 \Rightarrow h1 = \frac{P - F}{P + F}h_0 \therefore \boxed{h_{n+1} = \frac{P - F}{P + F}h_{n}}$$ O deslocamento, tendo em vista subida e descida, será $D = 2(h_0 + h_1 + h_2 + h_3 + ... + h_n)$, e dada a fórmula de recorrência que encontramos previamente, o deslocamento será basicamente uma soma de P.G de $q = \frac{(P - F)}{(P + F)}$, e por serem "muitas reflexões elásticas", podemos considerar uma P.G infinita, que terá forma de soma: $$D = \frac{a_1}{1 - q} \therefore D = \frac{2h_0}{1 - \frac{(P - F)}{(P + F)}} \Rightarrow \space \text{(Após trabalho algébrico)} \Rightarrow \boxed{D = \frac{PV_0^2}{2Fg}}$$ Dessa forma, gabarito na letra D.

Perceba que quando a pequena esfera for arremessada verticalmente, teremos apenas duas forças: peso ($P$) e resistência do ar ($F$). A conta do problema se resume a apenas uma linha, mas a Física do problema é muito interessante. Uma coisa que é interessante saber é o fato da resistência do ar sempre se opor a velocidade, com isso, perceba que o trabalho da força de resistência do ar será $F \cdot x$, em que $x = \sum_{i} x_{i}$, ou seja, o deslocamento total que a pequena esfera irá percorrer durante todo o problema, mas e o trabalho da força peso? Veja que como a bolinha parte de um ponto e volta para o mesmo, o trabalho será nulo, portanto $$W_{Ar} = \Delta K \Rightarrow F \cdot x = \dfrac{Pv^{2}_{0}}{2g} \Rightarrow x = \dfrac{Pv^{2}_{0}}{2gF}.$$ Obs.: Lembre-se que $P = mg$, isto é, $m = \frac{P}{g}.$