A princípio, a questão requer os conceitos de matrizes, assim como o conhecimento do princípio fundamental da contagem. Nesse sentido, a ideia é separar em dois casos: a probabilidade de $L^2 =0$, e a probabilidade de $R^2 = 0$. Vejamos: $• \ L^2 = 0:$ $\color{#3368b8}{\text{2/3}}$ Dado que $L \in M(3,1)$, a matriz deve ser $3\times 3$ e conter um único elemento igual a $1$. Dessa forma, é necessário ter o conhecimento da multiplicação de matrizes, mais precisamente, a ideia de que ao colocar um elemento na coluna $j$ este irá varrer a linha $j$. Por exemplo, ao colocar o $1$ em $a_{12}$, o $1$ irá varrer toda a linha $2$, isto é, os elementos $a_{2,i}$ serão, em algum momento, multiplicados por $1$ - e caso um destes não seja $0$, a matriz $L^2$ não será nula. Ou seja, para uma matriz $3\times3$ não é possível que o $1$ esteja na diagonal principal. Como resultado, já que o espaço amostral são $9$ posições possíveis para $1$, mas os eventos de interesse são apenas $6$, segue que a probabilidade de $L^2 =0$ é:\begin{matrix} P(L^2) = \dfrac{6}{9} &\therefore& P(L^2) = \dfrac{2}{3} \end{matrix}$• \ R^2 = 0:$ $\color{#3368b8}{\text{3/10}}$ Agora, a situação é mais complexa, visto que a matriz é $4\times 4$ e existem dois elementos iguais a $1$. No entanto, com conhecimento dos resultados passados ela fica mais simples. Veja que já sabemos a impossibilidade de ter elementos na diagonal principal, por isso, dado o primeiro elemento $1$ a ser colocado, existem $\text{12 opções}$ para ele. Por outro lado, o segundo elemento $1$ é o dilema. A priori, sabe-se que ele não pode estar na diagonal principal, assim como também não pode estar onde o primeiro elemento foi colocado. Além disso, também sabemos que ele não pode estar na linha $j$ respectiva a coluna $j$ que o primeiro elemento foi colocado. Vamos supor, sem perda de generalidade, que o primeiro $1$ está em $a_{12}$, então:\begin{bmatrix} \color{orangered}{0} &1&0&0 \\ \color{orangered}{0} &\color{orangered}{0}&\color{orangered}{0} &\color{orangered}{0} \\ 0&0&\color{orangered}{0}&0 \\ 0&0&0&\color{orangered}{0} \end{bmatrix}Observe que em destaque estão as regiões onde já verificamos que o segundo $1$ não pode ser colocado. Todavia, há outras posições inválidas? Sim, e estas são aquelas em que o segundo $1$ varre a posição do primeiro $1$. Novamente, a ideia é perceber que se o segundo elemento a ser colocado estiver numa coluna $j$, ele irá varrer a linha $j$. Para o exemplo acima, o $1$ se encontra na primeira linha, logo, o segundo $1$ não pode estar na primeira coluna. Assim,\begin{bmatrix} \color{orangered}{0} &1&0&0 \\ \color{orangered}{0} &\color{orangered}{0}&\color{orangered}{0} &\color{orangered}{0} \\ \color{#3368b8}{0}&0&\color{orangered}{0}&0 \\ \color{#3368b8}{0}&0&0&\color{orangered}{0} \end{bmatrix}Repare que os novos elementos destacados são justamente as outras posições inválidas que acabamos de computar. Consequentemente, o segundo $1$ só possui $\text{6 opções}$ para estar, o que nos permite determinar os eventos favoráveis como:\begin{matrix} \#E = \dfrac{12 \cdot 6}{2!} = 36 \ \text{possibilidades} \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ É necessário dividir por $2!$, pois a ordem em que escolhemos não importa, ou seja, colocar o primeiro em $x$ e o segundo em $y$ é a mesma coisa que por o primeiro em $y$ e o segundo em $x$. Nesse instante, resta-nos apenas encontrar o espaço amostral, o que não é difícil, dado que para o primeiro há $\text{16 opções}$, já o segundo possui $\text{15 opções}$ - ele não pode ocupar o lugar do primeiro.\begin{matrix} \#W = \dfrac{16 \cdot 15}{2!} = 120 \ \text{possibilidades} \end{matrix}Portanto, a probabilidade de se ter $R^2 =0$ é:\begin{matrix} P(R^2) = \dfrac{\#E}{\#W} &\therefore& P(R^2) = \dfrac{3}{10} \end{matrix}$• \ \text{Conclusão:}$ $\color{#3368b8}{\text{1/5}}$ Como o enunciado pede a probabilidade mútua de $L^2 =0$ e $R^2 =0$, têm-se:\begin{matrix} P(L^2,R^2) = P(L^2) \cdot P(R^2) \end{matrix}Por fim,\begin{matrix} P(L^2,R^2) = \dfrac{1}{5} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}