A expansão decimal do número possui muitos algarismos iguais a zero. Contando da direita para a esquerda, a partir do dígito das unidades, o número de zeros, que esse número possui antes de um dígito não nulo aparecer, é igual a
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Encontrar o número de zeros antes de um dígito não nulo, pode-se dizer que não é nada mais que contar o número de zeros no final do número. Dessa forma, precisamos encontrar todos os fatores iguais a $5.2$, como o $5$ é o nosso "fator limitante", vamos começar por ele:
• De 1 até 100, todos os números divisíveis por $5$
\begin{matrix} [\frac{100}{5}] = 20
\end{matrix}
• De 1 até 100, todos os números divisíveis por $5^2$
\begin{matrix} [\frac{100}{5^2}] = 4
\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ $[ \ \ ]:$ Parte inteira
Somando nossos resultados:
\begin{matrix} 20 + 4 = 24
\end{matrix}
Se ao total temos $24$ números $5$, significa que temos $24$ números iguais $10(5.2)$, pois $2$ apresenta mais elementos que $5$.
\begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
00:00 02/12/2021
Muito boa resolução. Eu encontrei 20 a partir dos divisores de 5, mas sempre esqueço de também levar em conta o 5² hehe. Mas a sua explicação ficou muito boa.
00:00 02/12/2021
Muito boa resolução. Eu encontrei 20 a partir dos divisores de 5, mas sempre esqueço de também levar em conta o 5² hehe. Mas a sua explicação ficou muito boa.
Perceba: para cada $5$ e $2$ , há um dígito $0$ , e a cada $5^2$ e $2^2$ , há dois dígitos $0$.
Calculemos a quantidade de múltiplos de $5$, de $1$ a $100$ .
$a_1 = 5$ (primeiro múltiplo) e $a_n = 100$ $\implies$ $5 + 5r = 100$ $\implies$ $r = 19$.
Portanto, $100 = a_{20}$ , há $20$ múltiplos de $5$ no intervalo $[1,100]$ .
No entanto, há $4$ múltiplos de $5^2$ nesse mesmo intervalo: o $25$ , $50$ , $75$ e $100$ .
Logo, soma-se com o $20$ mais $4$ .
Em suma, a quantidade de zeros à direita de $100!$ é $\boxed{\large{24}}$ Alternativa $\mathbb{(E)}$
