Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto ${1, 2, 3, \cdots , 29, 30}$. Determine a probabilidade da soma desses três números ser divisível por $3$.

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ITA IIIT 27/11/2021 17:28
$-$ Primeiramente, o espaço amostral $(W)$, escolher $3$ dos $30$ números: \begin{matrix} \#W = C_{30}^{3} = 4060 \end{matrix}Agora, vamos dividir o conjunto em três subconjuntos de $10$ elementos:\begin{matrix} X_1 = \big\{1 , 4 , 7 ,..., 28 \big\} \\ X_2 = \big\{2 , 5 , 8 ,..., 29 \big\} \\ X_3 = \big\{3, 6 , 9 ,..., 30 \big\} \\ \end{matrix}Dividindo em casos para encontrar o evento favorável $(A)$: • Escolhendo três números de $X_1$ \begin{matrix} C_{10}^{3} = 120 \end{matrix}• Escolhendo três números de $X_2$\begin{matrix} C_{10}^{3} = 120 \end{matrix}• Escolhendo três números de $X_3$\begin{matrix} C_{10}^{3} = 120 \end{matrix}• Escolhendo um número de cada subconjunto\begin{matrix} 10.10.10 = 10^3 \end{matrix}Somando nossos resultados: \begin{matrix} \#A = 3.120 + 10^3 = 1360 \end{matrix}Então a probabilidade solicitada:\begin{matrix} P(A) = {\large{\frac{\#A}{\#W}}} = {\large{\frac{1360}{4060}}} &\therefore&P(A)= {\large{\frac{68}{203}}} \end{matrix}
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