i) Tomando o lado $BC$ como $x$, o segmento $MB$ valerá $\frac{x}{2}$, o segmento $MN$ valerá $\frac{x}{4}$ e o lado $AB$ valerá $2x$. Tomando o ângulo $\widehat{BAM}$ como $\theta$ e o ângulo $\widehat{MAN}$ como $\alpha$, teremos: $tg(\theta) = \frac{\frac{x}{2}}{2x} = \frac{1}{4}$ $tg(\alpha + \theta) = \frac{\frac{3x}{4}}{2x} = \frac{3}{8} \therefore \frac{tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha).tg(\theta)} = \frac{3}{8}$ $\frac{tg(\alpha) + \frac{1}{4}}{1 - tg(\alpha).\frac{1}{4}} = \frac{3}{8} \therefore \frac{4tg(\alpha) +1}{4 - tg(\alpha)} = \frac{3}{8}$ $32tg(\alpha) + 8 = 12 - 3tg(\alpha) \therefore 35tg(\alpha) = 4 \Rightarrow tg(\alpha) = \frac{4}{35}$