Quantos pares de números inteiros positivos $(A,B)$ existem cujo mínimo múltiplo comum é $126\times 10^3$? Para efeito de contagem, considerar $(A,B)\equiv (B,A)$.

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ITA IIIT 27/11/2021 15:20
$-$Vejamos:\begin{matrix} 126.10^3 = 2^4.3^2.5^3.7^1 \end{matrix}Também podemos representar $A$ e $B$ como:\begin{matrix} A = 2^a.3^b.5^c.7^d \\ B= 2^x.3^y.5^z.7^w \\ \end{matrix} Perceba que: \begin{matrix} \big\{a;x \big\} =\big\{(4;0),(4;1),(4;2),...,(0;4) \big\} \rightarrow \ 9 \ elementos\\ \big\{b;y \big\} = \big\{(2;0),(2;1),(2;2),...,(0;2) \big\} \rightarrow \ 5 \ elementos\\ \big\{c;z \big\} = \big\{(3;0),(3;1),(3;2),...,(0;3) \big\} \rightarrow \ 7 \ elementos\\ \big\{d;w \big\} = \big\{(1;0),(1;1),(0;1) \big\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ 3 \ elementos\\ \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Nesses casos estamos considerando $(q,r) = (r,q)$, por isso, ao final devemos dividir por $2$ Pelo princípio fundamental da contagem:\begin{matrix} \frac{9.5.7.3 + \color{orangered}{1}}{2} = 473 \end{matrix} $\color{orangered}{•}$ caso que $ (A,B) = (B,A)$
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