Vejamos:\begin{matrix} 126\cdot 10^3 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1 \end{matrix}Também podemos representar $A$ e $B$ como:\begin{matrix} A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\cdot 7^d \\ B= 2^x\cdot 3^y\cdot 5^z\cdot 7^w \\ \end{matrix}Perceba que:\begin{matrix} \big\{a;x \big\} &=&\big\{(4;0),(4;1),(4;2),...,(0;4) \big\} \rightarrow \ 9 \ elementos\\ \big\{b;y \big\} &=& \big\{(2;0),(2;1),(2;2),...,(0;2) \big\} \rightarrow \ 5 \ elementos\\ \big\{c;z \big\} &=& \big\{(3;0),(3;1),(3;2),...,(0;3) \big\} \rightarrow \ 7 \ elementos\\ \big\{d;w \big\} &=& \big\{(1;0),(1;1),(0;1) \big\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ 3 \ elementos\\ \end{matrix} $\color{#ff1729}{\text{Obs:}}$ Nesses casos estamos considerando $(q,r) = (r,q)$, por isso, ao final devemos dividir por $2$. Pelo princípio fundamental da contagem:\begin{matrix} \dfrac{9\cdot 5\cdot 7\cdot 3}{2} + {\color{#f17e29}{\dfrac{1}{2}}} = 473 \end{matrix}$\color{#f17e29}{•}$ Caso que $ (A,B) = (B,A)$. Ou seja, ao dividir por $2$, estamos pegando apenas metade do único caso $ (A,B) = (B,A)$. Por isso, deve-se somar mais $1/2$, visando adicionar a outra metade.