Quantos pares de números inteiros positivos existem cujo mínimo múltiplo comum é ? Para efeito de contagem, considerar .
Vejamos:\begin{matrix} 126\cdot 10^3 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1
\end{matrix}Também podemos representar $A$ e $B$ como:\begin{matrix}
A = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c\cdot 7^d \\
B= 2^x\cdot 3^y\cdot 5^z\cdot 7^w \\
\end{matrix}Perceba que:\begin{matrix}
\big\{a;x \big\} =\big\{(4;0),(4;1),(4;2),...,(0;4) \big\} \rightarrow \ 9 \ elementos\\
\big\{b;y \big\} = \big\{(2;0),(2;1),(2;2),...,(0;2) \big\} \rightarrow \ 5 \ elementos\\
\big\{c;z \big\} = \big\{(3;0),(3;1),(3;2),...,(0;3) \big\} \rightarrow \ 7 \ elementos\\
\big\{d;w \big\} = \big\{(1;0),(1;1),(0;1) \big\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ 3 \ elementos\\
\end{matrix}
$\color{orangered}{Obs:}$ Nesses casos estamos considerando $(q,r) = (r,q)$, por isso, ao final devemos dividir por $2$
Pelo princípio fundamental da contagem:\begin{matrix}
\dfrac{9\cdot 5\cdot 7\cdot 3 + \color{orangered}{1}}{2} = 473
\end{matrix}$\color{orangered}{•}$ caso que $ (A,B) = (B,A)$