Sobre duas retas paralelas $r$ e $s$ são tomados $13$ pontos, $m$ pontos em $r$ e $n$ pontos em $s$, sendo $m>n$. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é $15/11$. Então, os valores de $n$ e $m$ são, respectivamente,


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ITA IIIT 27/11/2021 14:09
$-$ Vamos dividir em casos: • Número de triângulos que podem ser formados: \begin{matrix} C_{m}^{2}.C_{n}^{1} + C_{n}^{2}.C_{m}^{1} &\Rightarrow& (\frac{m.n}{2}).(m+n-2) &\therefore& (\frac{m.n}{2}).(11) \end{matrix}• Número de quadriláteros convexos que podem ser formados: \begin{matrix} C_{m}^{2}.C_{n}^{2} &\Rightarrow&(\frac{m.n}{4}).(m-1).(n-1) &\Rightarrow& (\frac{m.n}{4}).(m.n - n -m +1) &\therefore& (\frac{m.n}{4}).(m.n - 12) \end{matrix}Segundo enunciado:\begin{matrix} {\Large{\frac{(\frac{m.n}{4}).(m.n - 12)}{(\frac{m.n}{2}).(11)}}} = {\large{\frac{15}{11}}} &\therefore& m.n = 42 \end{matrix}Assim, temos um pequeno sistema: \begin{matrix} m+ n = 13 &,& m.n = 42 &\therefore& \fbox{$m = 7 \ \ , \ \ n = 6$} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $m>n$ \begin{matrix} Letra \ (E) \end{matrix}
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