Sobre duas retas paralelas e são tomados pontos, pontos em e pontos em , sendo . Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é . Então, os valores de e são, respectivamente,
Vamos dividir em casos:
• Número de triângulos que podem ser formados: \begin{matrix} C_{m}^{2} \cdot C_{n}^{1} + C_{n}^{2}\cdot C_{m}^{1} &\Rightarrow& (\dfrac{m\cdot n}{2})(m+n-2) &\therefore& (\dfrac{m\cdot n}{2})(11)
\end{matrix}• Número de quadriláteros convexos que podem ser formados: \begin{matrix} C_{m}^{2}.C_{n}^{2} &\Rightarrow&(\dfrac{m\cdot n}{4})(m-1)(n-1) &\Rightarrow& (\dfrac{m\cdot n}{4})(m\cdot n - n -m +1) &\therefore& (\dfrac{m\cdot n}{4})(m\cdot n - 12)
\end{matrix}Segundo enunciado:\begin{matrix} {{\dfrac{(\dfrac{m\cdot n}{4})(m.n - 12)}{(\dfrac{m\cdot n}{2})(11)}}} = {{\dfrac{15}{11}}} &\therefore& m\cdot n = 42
\end{matrix}Assim, temos um pequeno sistema: \begin{matrix} m+ n = 13 &,& m\cdot n = 42 &\therefore& \fbox{$m = 7 \ \ , \ \ n = 6$}
\end{matrix}$\color{orangered}{Obs:}$ Não esqueça que $m>n$ \begin{matrix} Letra \ (E)
\end{matrix}
