De uma caixa que contém $10$ bolas brancas e $6$ bolas pretas, são selecionadas ao acaso $k$ bolas.

a) Qual a probabilidade de que exatamente $r$ bolas sejam brancas, nas condições $0\le k-r \le 6$ e $0\le k\le 10$.

b) Use o item (a) para calcular a soma $\displaystyle \sum^{6}_{r=0}\binom{10}{r}\binom{6}{6-r}$

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ITA IIIT 27/11/2021 13:14
$• \ \text{Alternativa (a):}$ A priori, vejamos nosso espaço amostral $(W)$, já sabemos que $k$ bolas foram escolhidas, então: \begin{matrix} \#W = C_{16}^{k} \end{matrix}Agora, em nosso evento favorável $(A)$, queremos exatamente $r$ bolas brancas, podemos fazer isso de $C_{10}^{r}$ modos. Entretanto, estamos escolhendo de $k$, e ele também pode ter escolhido bolas pretas, que são dadas de $C_{k-r}^{6}$ modos, repare que, $k-r$ são todas as bolas pretas escolhidas por $k$, visto que $r$ são todas as brancas. Dessa forma, podemos escrever: \begin{matrix} \#A = C_{10}^{r}.C_{k-r}^{6} \end{matrix}A probabilidade solicitada: \begin{matrix} P(A)= {\large{\frac{\#A}{\#W} }}= {\large{\frac{C_{10}^{r}.C_{k-r}^{6}}{C_{16}^{k}}}} &\therefore& P(A) = {\large{\frac{{10 \choose r}.{6 \choose k-r}}{{16 \choose k}}}} & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}$• \ \text{Alternativa (b):}$ Veja que, no nosso resultado do item anterior existem duas variáveis, $k$ bolas retiradas e $r$ bolas brancas retiradas, um depende do outro. Por outro lado, note que no comando do item $B$ queremos $k =6$, assim teríamos : \begin{matrix} P(A)_{6,r} = {\large{\frac{{10 \choose r}.{6 \choose 6-r}}{{16 \choose 6}}}} \end{matrix}Indubitavelmente, podemos ter $0 \le r \le 6$, em que cada valor de $r$ é uma parcela, a soma de todas as parcelas deve ser igual ao espaço amostral, pois estaríamos contando todos os resultados possíveis, isso quer dizer: \begin{matrix} \sum_{r=0}^{6} {10 \choose r}.{6 \choose 6-r}={16 \choose 6} = {\large{\frac{16!}{6!.10!}}} = 8008 & \tiny{\blacksquare} \end{matrix}
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