Seja $Z = a + bi$. O coloquemos em sua forma trigonométrica: $Z = |Z|\cdot [\cos (\theta) + i\sin (\theta)] = |Z|\cdot cis(\theta)$ . Vale ressaltar que $\overline{ \Large{Z}} = |Z|\cdot cis^{-1}(\theta)$ . A equação considerada no enunciado equivale a $\overline{ \Large{Z}}^{501} = \Large{\frac{2\cdot Z}{|Z|^{500} + 1}}$ , equivalente a: $|Z|^{501}\cdot cis^{-501}(\theta) = \Large{\frac{2\cdot |Z|\cdot cis(\theta)}{|Z|^{500} + 1}}$ $\implies$ $\underbrace{|Z|}^{501}\cdot (|Z|^{500} + 1) = 2\cdot \underbrace{|Z|}\cdot cis^{502}(\theta)$ . Assim: $|Z| = 0$ , logo $a^2 + b^2 = 0$, portanto $\color{yellow}{(a,b) = (0,0)}$ é solução. Para $|Z| \neq 0$, temos: $$|Z|^{500}\cdot (|Z|^{500} + 1) = 2\cdot cis^{502}(\theta)$$ concluindo que: $$cis^{502}(\theta) = \large{\frac{|Z|^{1000} + |Z|^{500}}{2}} \implies Z^{502} = \large{\frac{|Z|^{1502} + |Z|^{1002}}{2}} \in \mathbb{R}$$ Se $\Large{\frac{|Z|^{1502} + |Z|^{1002}}{2}}$ $= K$, então: $$Z^{502} - K = 0$$E para esta equação, existem $502$ raízes complexas, cada uma com a sua respectiva coordenada no plano complexo. Portanto, $502$ soluções acima somada à solução $(0,0)$: total de $\large{\boxed{503\space \space \text{soluções}}}$ .