Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos com $3$ e $5$ elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas $f:B\to A$ existem?

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ITA IIIT 26/11/2021 21:20
$-$ Primeiramente, vejamos quantas funções existem de $B$ em $A$. Note que, para cada elemento de $B$ existem $3$ opções em $A$, assim, podemos escrever: \begin{matrix} 3-3-3-3-3 &\Rightarrow& 3^5 \ \ funções \end{matrix}Agora, vamos retirar as funções não sobrejectivas, iremos dividir em casos: • Todos elementos de $B$ escolhem apenas um elemento de $A$\begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{5}} = 3 \ funções \end{matrix} $\color{orangered}{•}$ Escolha de um dos três elementos de $A$ $\color{royalblue}{•}$ Escolha de cinco elementos dos cinco elementos de $B$ • Elementos de $B$ escolhem entre apenas dois elementos de $A$ $-$ Caso em que quatro elementos de $B$ escolhem um único elemento de $A$ \begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{4}}.\color{green}{C_{2}^{1}}.\color{violet}{C_{1}^{1}} = 30 \ funções \end{matrix} $\color{orangered}{•}$ Escolhendo um dos três elementos de $A$ $\color{royalblue}{•}$ Escolha de 4 elementos dos cinco elementos de $B$ $\color{green}{•}$ Escolha de um elementos dos dois elementos restantes de $A$ $\color{violet}{•}$ Escolha de um elemento do único elemento restante de $B$ $-$ Caso em que três elementos de $B$ escolhem um único elemento de $A$ \begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{3}}.\color{green}{C_{2}^{1}}.\color{violet}{C_{2}^{2}} = 60 \ funções \end{matrix} $\color{orangered}{•}$ Escolhendo um dos três elementos de $A$ $\color{royalblue}{•}$ Escolha de 3 elementos dos cinco elementos de $B$ $\color{green}{•}$ Escolha de um elementos dos dois elementos restantes de $A$ $\color{violet}{•}$ Escolha de dois elementos dos únicos dois elemento restantes de $B$ Somando nossos resultados: \begin{matrix} 3 + 30 + 60 = 93 \ {funções \ não \ desejadas} \end{matrix}• Todas as funções sobrejetivas \begin{matrix}3^5 - 93 = 150 \ funções \end{matrix}
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