Sejam $A$ e $B$ dois conjuntos com $3$ e $5$ elementos, respectivamente. Quantas funções sobrejetivas $f:B\to A$ existem?
$-$ Primeiramente, vejamos quantas funções existem de $B$ em $A$. Note que, para cada elemento de $B$ existem $3$ opções em $A$, assim, podemos escrever:
\begin{matrix} 3-3-3-3-3 &\Rightarrow& 3^5 \ \ funções
\end{matrix}Agora, vamos retirar as funções não sobrejectivas, iremos dividir em casos:
• Todos elementos de $B$ escolhem apenas um elemento de $A$\begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{5}} = 3 \ funções
\end{matrix}
$\color{orangered}{•}$ Escolha de um dos três elementos de $A$
$\color{royalblue}{•}$ Escolha de cinco elementos dos cinco elementos de $B$
• Elementos de $B$ escolhem entre apenas dois elementos de $A$
$-$ Caso em que quatro elementos de $B$ escolhem um único elemento de $A$
\begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{4}}.\color{green}{C_{2}^{1}}.\color{violet}{C_{1}^{1}} = 30 \ funções
\end{matrix}
$\color{orangered}{•}$ Escolhendo um dos três elementos de $A$
$\color{royalblue}{•}$ Escolha de 4 elementos dos cinco elementos de $B$
$\color{green}{•}$ Escolha de um elementos dos dois elementos restantes de $A$
$\color{violet}{•}$ Escolha de um elemento do único elemento restante de $B$
$-$ Caso em que três elementos de $B$ escolhem um único elemento de $A$
\begin{matrix} \color{orangered}{C_{3}^{1}}.\color{royalblue}{C_{5}^{3}}.\color{green}{C_{2}^{1}}.\color{violet}{C_{2}^{2}} = 60 \ funções
\end{matrix}
$\color{orangered}{•}$ Escolhendo um dos três elementos de $A$
$\color{royalblue}{•}$ Escolha de 3 elementos dos cinco elementos de $B$
$\color{green}{•}$ Escolha de um elementos dos dois elementos restantes de $A$
$\color{violet}{•}$ Escolha de dois elementos dos únicos dois elemento restantes de $B$
Somando nossos resultados: \begin{matrix} 3 + 30 + 60 = 93 \ {funções \ não \ desejadas}
\end{matrix}• Todas as funções sobrejetivas \begin{matrix}3^5 - 93 = 150 \ funções
\end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000