Seja $S$ o conjunto de todos os polinômios de grau $4$ que têm três dos seus coeficientes iguais a $2$ e os outros dois iguais a $1$.

a) Determine o número de elementos de $S$.

b) Determine o subconjunto de $S$ formado pelos polinômios que têm $-1$ como uma de suas raízes.

img
ITA IIIT 26/11/2021 18:09
$\text{• Alternativa (A)}$ Primeiro, vamos escrever um polinômio qualquer de grau $4$: \begin{matrix} P(x) =\color{royalblue}{a_4}.x^4 + \color{royalblue}{a_3}.x^3+ \color{royalblue}{a_2}.x^2 + \color{royalblue}{a_1}.x + \color{royalblue}{a_0} \end{matrix} Note que, as únicas coisas que nos interessam no momento são os coeficientes em amarelo, queremos três para serem igual a $2$, e dois para serem iguais a $1$, podemos fazer isso de: \begin{matrix} C_{5}^{3}.C_{2}^{2} = 10 \ maneiras \end{matrix} $\text{• Alternativa (B)}$ \begin{matrix} P(-1) = a_4 \color{royalblue}{-}a_3 \color{royalblue}{+}a_2 \color{royalblue}{-}a_1 \color{royalblue}{+} a_1= 0 \\ \\ a_0 + a_2 + a_4 = a_1 + a_3 \\ \\ a_1 + a_3 = 4 \ \ \Rightarrow \ \ a_1 = 2 \ \ \ , \ \ \ a_3 = 2 \\ \\ a_0 + a_2 + a_4 = 4 \end{matrix} Atente ao fato que $a_1 + a_3$ deve ser necessariamente igual a $4$, pois do contrário, não há solução. Dessa forma, vejamos os resultados da nossa segunda expressão: \begin{matrix} a_0 = 2 \ \ , \ \ a_2 = 1 \ \ , \ \ a_4 = 1 \\ a_0 = 1 \ \ , \ \ a_2 = 2 \ \ , \ \ a_4 = 1 \\ a_0 = 1 \ \ , \ \ a_2 = 1 \ \ , \ \ a_3 = 2 \end{matrix} Assim, é possível escrever o conjunto $S$ como: \begin{matrix} S = \begin{Bmatrix} x^4 + 2.x^3+ x^2 + 2.x + 2 \\ x^4 + 2.x^3+ 2.x^2 + 2.x + 1 \\ 2.x^4 + 2.x^3+ x^2 + 2.x + 1 \end{Bmatrix} \end{matrix}
Modo de Edição
0 / 5000
ManualLaTeX