Sobre uma placa de vidro plana é colocada uma lente plano-côncava, com $1,50$ de índice de refração e concavidade de $8,00\ m$ de raio voltada para baixo. Com a lente iluminada perpendicularmente de cima por uma luz de comprimento de onda $589\ nm$ (no ar), aparece um padrão de interferência com um ponto escuro central circundado por anéis, dos quais $50$ são escuros, inclusive o mais externo na borda da lente. Este padrão de interferência aparece devido ao filme de ar entre a lente e a placa de vidro (como esquematizado na figura).
A espessura da camada de ar no centro do padrão de interferência e a distância focal da lente são, respectivamente,
O ponto escuro central representa a interferência destrutiva entre os raios de luz $A$ e $B$, sendo:
- $A$ o raio que é refletido na interface lente-ar
- $B$ o raio que atravessa a lente e é refletido na interface ar-vidro
O raio $B$, ao passar de um meio menos refringente para um mais refringente, sofre inversão de fase. Este raio percorre uma distância (ida e volta) de $2d$ a mais do que o raio $A$, sendo $d$ a espessura da lente.
Para assegurar que a interferência seja do tipo destrutiva, a distância percorrida a mais pelo raio $B$ deve ser um múltiplo do comprimento de onda $\lambda$, assegurando assim interferência com total inversão de fase $(180^{\circ})$. Portanto, como temos $50$ anéis de interferência destrutiva:$$2d=m\lambda,\ m\in\mathbb{Z}$$$$d=\frac{50\cdot 589\ nm}{2}\simeq\boxed{14{,}7\ \mu m}$$Já para determinar a distância focal $f$ da lente, recorremos à Equação dos Fabricante de Lentes (equação de Halley):$$\frac{1}{f}=\left(\frac{n_{\text{lente}}}{n_{\text{meio}}}-1\right)\cdot\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$Com os índices de refração do enunciado, $R_1=-8\ m$ (face côncava) e $R_2=\infty$ (face plana):$$\frac{1}{f}=\left(1{,}5-1\right)\cdot\left(\frac{1}{-8}+\frac{1}{\infty}\right)$$$$\boxed{f=-16{,}0\ m}\quad\text{Gab. B)}$$
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