Para entender este problema, devemos pensar no peso da esfera e a pressão da coluna de fluido, que são contrariados pelo empuxo. A figura mostra uma situação com $h>a$. Assim, conforme o volume de água vai reduzindo, o peso da esfera mantém-se constante, o empuxo também mantém-se constante, pois o volume da esfera que está submerso permanece o mesmo. No entanto, a altura da coluna de água diminui, fazendo com que exista menos pressão prendendo a esfera. Portanto, com a redução do volume de água, haverá um momento em que o empuxo será maior que soma da força peso com a força associada à pressão do fluido, fazendo com que a esfera se desprenda do fundo do recipiente. Podemos calcular a altura $h$ da coluna de fluido para a queal esse momento de "descolamento" acontece recorrendo à equação de equilíbrio: $$E = P + F$$ Sendo $$F=\text{Pressão da coluna}\times\text{Área de contato da esfera}$$ Note que, se a parte inferior da esfera tivesse contato com o fluido, não precisaríamos contar com a pressão hidrostática: nesse caso, a força que o líquido aplica faz parte do empuxo. Voltando à situação do enunciado: para calcular o empuxo, precisamos saber qual o volume da esfera que está submerso, isto é, qual é o volume de água que é deslocado pela esfera. O volume da calota esférica imersa no líquido é igual a $V=\dfrac{\pi a}{6}\cdot (3r^2+a^2)$ Assim, a equação de equilíbrio fica: $$\rho\cdot\dfrac{\pi a}{6}\cdot (3r^2+a^2)\cdot g = mg + \rho g h \cdot \pi r^2$$ Desenvolvendo e isolando $h$: $$h=\dfrac{a(3r^2+a^2)}{6r^2}-\dfrac{m}{\rho \pi r^2}\Rightarrow\boxed{\text{Gab. E)}}$$