(a) Se $z = x+yi$, então a equação $|z-2| = 1$ é correspondente a$$(x-2)^2+y^2 ~=~ 1$$Que determina uma circunferência $C_1$, de centro $(2,0)$ e raio $1$. Sendo $m$ o valor máximo de $|z+i|$, então$$x^2+(y+1)^2~=~m^2$$Que determina uma circunferência $C_2$, de centro $(0,-1)$ e raio $m$. O raio $m$ só pode ser determinado por uma reta que passe pelos pontos $(0,-1)$ e $(2,0)$. Desta reta, determina-se um segmento de comprimento máximo que passa por $(0,-1)$, tal que $\boxed{m=\sqrt 5 + 1}$ . (b) Sendo $z = z_0 = x_0+iy_0$ , temos: $$\begin{cases}x^2+y^2~=~4x-3\\x^2+y^2+2y~=~5+2\sqrt{5}\end{cases} \implies 2x_0+y_0~=~4+\sqrt 5$$$$(2x_0-4)^2~=~(\sqrt 5 - y_0)^2 \implies 4x_0^2-16x_0+16~=~5-2\sqrt {5}~ y_0 + y_0^2$$Reescrevendo a equação em $x_0$, temos:$$5x_0^2+x_0 (-20-4\sqrt{5})+24+8\sqrt{5}~=~0$$Desenvolvendo, encontra-se:$$\left(x_0-\dfrac{10+2\sqrt{5}}{5}\right)^2~=~0 \implies x_0 ~=~\dfrac{2(5+\sqrt{5})}{5}$$Assim, encontra-se $y_0$ :$$y_0~=~\dfrac{20+5\sqrt{5}}{5}-2x_0 \implies y_0~=~\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$$$\boxed{z_0~=~\dfrac{2(5+\sqrt{5})}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}i}$$