Sejam $z,w\in\mathbb{C}$. Das afirmações:

I. $|z+w|^2+|z-w|^2=2(|z|^2+|w|^2)$;

II. $(z+\overline{w})^2-(z-\overline{w})^2=4z\overline{w}$;

III. $|z+w|^2-|z-w|^2=4Re(z\overline{w})$,

é (são) verdadeira(s)


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ITA IIIT 27/10/2021 00:12
$\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} |z|^2 = z.\bar{z} \\ \overline{(z+w)} = (\bar{z} + \bar{w}) \end{matrix} • Afirmativa I: Verdadeira \begin{matrix} |z+w|^2+|z-w|^2 \\ \\ (z + w).(\bar{z} + \bar{w}) + (z - w).(\bar{z} - \bar{w}) \\ 2( z.\bar{z} + w.\bar{w}) \\ \\ 2( |z|^2+|w|^2) \ \ \surd \end{matrix} • Afirmativa II: Verdadeira $\color{orangered}{Obs:}$ \begin{matrix} a^2 - b^2 = (a+b).(a-b) \end{matrix} Então, \begin{matrix} [ z + \bar{w} + (z -\bar{w})] \ .[ z + \bar{w} - (z -\bar{w})] \\ \\ 4z\bar{w} \ \ \surd \end{matrix} • Afirmativa III: Verdadeira \begin{matrix} |z+w|^2-|z-w|^2 \\ \\ (z + w).(\bar{z} + \bar{w}) - (z - w).(\bar{z} - \bar{w}) \\ 2(z.\bar{w} +\bar{z}.w) \ \ \color{yellow}{(1)} \end{matrix} $\color{orangered}{Obs:}$ Parte real de um complexo \begin{matrix} z = a+b.i, \ \ Re(z) = a \ \ \ e \ \ \ Im(z) = b \\ z + \bar{z} = 2a \\ \\ Re(z) = \frac{z + \bar{z} }{2} \end{matrix} Observe que nosso resultado $(1)$ é muito semelhante, pois se temos $z.\bar{w}$ seu conjugado é $ \overline{(z.\bar{w})} = \bar{z}.w$. Portanto: \begin{matrix} 2[z.\bar{w} +\overline{(z.\bar{w})}].\frac{2}{2} \\ \\ 4.Re(z.\bar{w}) \ \ \surd \\ \\ Letra \ (E) \end{matrix}
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