Seja $Ω$ o espaço amostral que representa todos os resultados possíveis do lançamento simultâneo de três dados. Se $A ⊂ Ω$ é o evento para o qual a soma dos resultados dos três dados é igual a $9 $ e $B ⊂ Ω$ o evento cuja soma dos resultados é igual a $10$, calcule

$n(Ω)$;

$n(A)$ e $n(B)$;

$P(A) $ e $P(B)$

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ITA IIIT 26/11/2021 14:49
$-$ Existem algumas formas de resolver esse problema, você poderia simplesmente fazer uma tabela e ir manualmente encontrando os resultados, porém, uma ferramenta muito boa nesses tipos de questões é a $Combinação \ Completa$. • $\#W = n(\Omega)$ Cada dado possui $6$ números, temos três dados, pelo princípio fundamental da contagem: \begin{matrix} \fbox{$\#W = 6.6.6 = 216$} \end{matrix}• $\#A$ Agora iremos usar a $Combinação \ Completa$, seja $\big\{a, \ b \ e \ c\big\}$ a representação do número de cada dado, podemos escrever: \begin{matrix} a + b + c = 9 \end{matrix}Note que, nenhum dos dados pode admitir valor $0$, por isso, vamos fazer uma mudança de variável: $=> \ \ \ \ a: \ x+ 1$ $=> \ \ \ \ b: \ y+ 1$ $=> \ \ \ \ c: \ z+ 1$ \begin{matrix} x+y+z= 6 \\ \\ CR_{3}^{6} = C_{8}^{6} = 28 \ possibilidades \end{matrix}Entretanto, atente ao fato que estamos contando valores indevidos, pois dentro dessas $28$ possibilidades há dados com números superiores a 6, exemplo: \begin{matrix} x = 6 \ \ , \ \ y = 0 \ \ , \ \ z =0 \\ a = 7 \ \ , \ \ b = 1 \ \ , \ \ c =1 \\ \end{matrix}Veja que, nesse caso é simples, pois iremos contar apenas três vezes essa situação, uma com $x$ outra com $y$ e outra com $z$, segue assim: \begin{matrix} \#A = 28 - 3 &\therefore& \fbox{$ \#A = 25$} \end{matrix}• $\#B$ De forma análoga, podemos pular alguns passos triviais agora, vejamos: \begin{matrix} q + w + e = 7 \\ \\ CR_{3}^{7} = C_{9}^{7} = 36 \ possibilidades \end{matrix}Novamente, precisamos retirar os valores indevidos, os quais são quando uma incógnita admite valores superiores a $5$, nesse caso, o mais simples: $\color{orangered}{Obs:}$ Lembre-se que $q,w,e = nº \ (dado) - 1$ - Quando uma delas é igual a $7$ \begin{matrix} q = 7 \ \ , \ \ w = 0 \ \ , \ \ e =0 \\ \end{matrix}É visível que teremos $3$ casos semelhantes. - Quando uma delas é igual a $6$ \begin{matrix} q = 6 \ \ , \ \ w = 1 \ \ , \ \ e =0 & ou & q = 6 \ \ , \ \ w = 0 \ \ , \ \ e =1 \end{matrix}Novamente, para cada incógnita que admita o valor $6$ temos $2$ possibilidades, se temos $3$ incógnitas, podemos escrever: $3\cdot 2 = 6$. Segue: \begin{matrix} \#B = 36-(3+6) &\therefore& \fbox{$ \#B = 27$} \end{matrix}• $P(A) \ e \ P(B)$\begin{matrix}\fbox{$ P(A) = {\large{\frac{\#A}{ \#W}}} = {\large{\frac{25}{216}}} $}&,& \fbox{$ P(B) ={\large{\frac{\#B}{ \#W}}} = {\large{\frac{27}{216}}} = {\large{\frac{1}{8}}}$} \end{matrix}
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