Da soma, que chamarei de $S$, observemos que a razão é expressa em logaritmos de mesma base, o $\dfrac{1}{2}$ , então, podemos reduzir a expressão da soma desse modo:$$ \dfrac{\log \sqrt[n]{32}}{\log{8^{n+2}}}~ =~ \dfrac{5}{3n(n+2)} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 2} ~= ~\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2} \right)$$ Assim, reescrevamos a soma: $$S ~= ~\dfrac{5}{6} \cdot \displaystyle\sum_{n=1}^{4} \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2} \right) = \dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}+ \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}\right)$$ $$S = ~\dfrac{1}{6} \cdot \left(\frac{24}{6} + \frac{15}{6} - \frac{5}{6} \right) = \frac{17}{18} \implies \boxed{S = \frac{17}{18}}$$ $$\text{Alternativa } \mathbb{(D)}$$