Comecemos por observar que a equação em si não é muito agradável, isto é, não há uma saída rápida após simplesmente elevar até uma equação de segundo grau em $\lambda$. (Você pode tentar isso e, certamente, dará certo, no entanto, não é prático.) Ante o exposto, vale a tentativa de inspeção, pois ambos os termos precisam ser quadrados perfeitos para somar $12$ - do contrário, não há solução. Vejamos alguns valores para cada termo,\begin{matrix} \sqrt{\lambda +9}: & \lambda = \{ -9,-5,0,7,16,27, \dots \} \\ \end{matrix}Agora, baseando-se no resultado acima, verifiquemos o segundo termo,\begin{matrix} \sqrt{2\lambda +17}: & \lambda = \{ 16, \dots \} \end{matrix}Ora, então $16$ é uma solução, e esta deve de ser a única, pois para $\lambda > 16$ segue:\begin{matrix} \sqrt{\lambda +9} + \sqrt{2\lambda +17} >12 \end{matrix}Assim como $\lambda$ não pode ser menor que $-9$, pois $\sqrt{\lambda +9} \ge 0$. Enfim, dando sequência a questão, tem-se:\begin{matrix}z^4 = -16 \end{matrix}Ou seja, conhecida as $\text{Leis de Moivre}$:\begin{matrix} z^4 = |z^4|(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) &\therefore& \theta = \pi \end{matrix}Continuando,\begin{matrix} z_k = \sqrt{|z^4|}\left(\cos{\dfrac{\pi+ 2k\pi}{4}} + i \sin{\dfrac{\pi+ 2k\pi}{4}}\right) &,& k = 0,1,2,3 \end{matrix}Sabido que $Re(z) >0$, deve-se ter:\begin{matrix} \cos{\dfrac{\pi+ 2k\pi}{4}} > 0 &\therefore& k = 0,3 \end{matrix}Então as soluções desejadas são,\begin{matrix} z_0 = 2\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}} + i \sin{\dfrac{\pi}{4}}\right) &,& z_1 =2\left(\cos{\dfrac{7\pi}{4}} + i \sin{\dfrac{7\pi}{4}}\right) \end{matrix}Portanto,\begin{matrix} \boxed{z_0 + z_1 = 2\sqrt{2}} \end{matrix}\begin{matrix}Letra \ (B) \end{matrix}$\color{orangered}{\text{Obs:}}$ Uma saída possível é manipular $\sqrt{\lambda +9}$ como:\begin{matrix} x = \sqrt{\lambda +9} &\Rightarrow& 2x^2 - 1 =2\lambda + 17 \end{matrix}A partir daí, novamente, tem-se apenas contas.