Consideremos $k = 2^{\sqrt{x+1}}$. Assim, reescrevamos a equação:$$k^3 -19k^2 + 44k + 64 = 0$$Ao pesquisar a raíz racional na equação em $k$, de imediato percebamos que $k = -1$ a satisfaz, logo, podemos reescrevê-la da seguinte forma:$$(k+1)(k^2-20k+64) = 0$$Para $k\neq -1$, temos$$k^2-20k+64 = 0 \implies (k-10)^2 = 36 \implies k = 10 \pm 6$$$$k = \{4, 16\}$$São estas as raízes da equação original: $\{-1, 4, 16\}$. No entanto, como $k = 2^{\sqrt{x+1}} > 0,~ (\forall ~ x) \in \mathbb{R_{\geq -1}}~$, isto implica que as únicas raízes possíveis são $\{4, 16\}$ . $$k = 4 \implies 2^{\sqrt{x_1+1}} = 2^{2} \implies x_1+1 = 4 \implies \color{red}{x_1 = 3}$$$$k = 16 \implies 2^{\sqrt{x_2+1}} = 2^{4} \implies x_2+1 = 16 \implies \color{red}{x_2 = 15}$$ Portanto, a soma de todos os números reais $x$ que satisfazem a equação é$$\boxed{x_1 + x_2 = 3 + 15 = 18}$$$$\text{Alternativa } \mathbb{(D)}$$