Considerando $z = a+bi$, $a, b \in \mathbb{R}$, do enunciado, temos que: $z = |z|$ $\implies$ $a+bi = \sqrt{a^2+b^2}$ $\implies$ $a^2 + 2abi - b^2 = a^2 + b^2$, assim: $abi = b^2$ $\implies$ $b = 0$ ou $a=0$, que implica $b = 0$. Isso significa que, para todo $a$, teremos $b = 0$, então $z \in \mathbb{R}$. Ademais, como $z = |z|$, então $z = a = \sqrt{a^2 + b^2} \geq 0$. Da equação enunciada, completemos o quadrado: $z^8 - 17z^4 + 16 = 0$ $\implies$ $\large{(z^4-\frac{17}{2})^2 = (\frac{15}{2})^2}$ $\implies$ $\large{z^4 = \frac{17}{2} \pm \frac{15}{2}}$, assim: $z^4 = 1$ $\implies$ $ 0 \leq z = 1$ ; $z^4 = 16$ $\implies$ $0 \leq z = 2$. Portanto, $\{1, 2\}$ são as soluções esperadas. A soma delas será $\boxed{1+2 = 3}$ Alternativa $\mathbb{(C)}$