Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando $4$ cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.

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ITA IIIT 23/11/2021 22:10
Vamos dividir em casos: $• \ 1º:$ Usando apenas uma cor para pintar o tetraedro Veja que temos $4$ cores, logo, podemos ter $4$ tetraedros distintos. $• \ 2º:$ Usando apenas duas cores para pintar o tetraedro - Três faces de uma cor e um de outra \begin{matrix} 4.3 =12 \ tetraedros \ distintos \end{matrix} Atente ao fato que, apenas precisamos escolher duas cores, a primeira, que pode ser escolhida de $4$ modos, e a segunda, que pode ser escolhida de $3$ modos. - Duas faces de uma cor e duas de outra \begin{matrix} \frac{4.3}{2} =6\ tetraedros \ distintos \end{matrix} Nesse caso, precisamos dividir por $2$, pois estamos contanto o mesmo tetraedro duas vezes, o que é possível perceber por rotação, visto que, $(A,A,B,B) = (B,B,A,A)$ por rotação. $• \ 3º:$ Usando apenas três cores para pintar o tetraedro Perceba que, teremos uma cor repetida em alguma face, logo: \begin{matrix} 4.C_{3}^{2}.C_{1}^{1} =12 \ tetraedros \ distintos \end{matrix} Repare que, podemos escolher a primeira face de $4$ maneiras, por outro lado, como há repetição por rotação, devemos escolher duas das três faces para possuirem a mesma cor de $C_{3}^{2}$ modos, e ao fim, escolher a última, $C_{1}^{1}$ modos. Vale ressaltar que, a combinação é necessária pois pouco importa se iremos escolher $(A,B)$ ou $(B,A)$, no fim, ambas serão iguais. $• \ 4º:$ Usando todas as cores para pintar o tetraedro Note que, por rotação, ao fixarmos duas cores, haverá apenas duas possibilidades para as outras cores. Dessa forma, temos apenas $2$ tetraedros distintos. Por fim, podemos somar todos nossos tetraedros distintos: \begin{matrix} 4 + 12 + 6+ 12 + 2 \\ \\ 36 \ tetraedros \ distintos \end{matrix}
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