Quantos tetraedros regulares de mesma dimensão podemos distinguir usando cores distintas para pintar todas as suas faces? Cada face só pode ser pintada com uma única cor.
Vamos dividir em casos:
$• \ 1º:$ Usando apenas uma cor para pintar o tetraedro
Veja que temos $4$ cores, logo, podemos ter $4$ tetraedros distintos.
$• \ 2º:$ Usando apenas duas cores para pintar o tetraedro
- Três faces de uma cor e um de outra
\begin{matrix} 4.3 =12 \ tetraedros \ distintos
\end{matrix}
Atente ao fato que, apenas precisamos escolher duas cores, a primeira, que pode ser escolhida de $4$ modos, e a segunda, que pode ser escolhida de $3$ modos.
- Duas faces de uma cor e duas de outra
\begin{matrix} \frac{4.3}{2} =6\ tetraedros \ distintos
\end{matrix}
Nesse caso, precisamos dividir por $2$, pois estamos contanto o mesmo tetraedro duas vezes, o que é possível perceber por rotação, visto que, $(A,A,B,B) = (B,B,A,A)$ por rotação.
$• \ 3º:$ Usando apenas três cores para pintar o tetraedro
Perceba que, teremos uma cor repetida em alguma face, logo:
\begin{matrix} 4.C_{3}^{2}.C_{1}^{1} =12 \ tetraedros \ distintos
\end{matrix}
Repare que, podemos escolher a primeira face de $4$ maneiras, por outro lado, como há repetição por rotação, devemos escolher duas das três faces para possuirem a mesma cor de $C_{3}^{2}$ modos, e ao fim, escolher a última, $C_{1}^{1}$ modos. Vale ressaltar que, a combinação é necessária pois pouco importa se iremos escolher $(A,B)$ ou $(B,A)$, no fim, ambas serão iguais.
$• \ 4º:$ Usando todas as cores para pintar o tetraedro
Note que, por rotação, ao fixarmos duas cores, haverá apenas duas possibilidades para as outras cores. Dessa forma, temos apenas $2$ tetraedros distintos.
Por fim, podemos somar todos nossos tetraedros distintos:
\begin{matrix} 4 + 12 + 6+ 12 + 2 \\ \\ 36 \ tetraedros \ distintos
\end{matrix}