A princípio, podemos utilizar quatro cores distintas, o que nos permite usar apenas uma, duas, três e assim por diante. Ante a isso, comecemos por dividir em casos, comecemos do mais simples para o mais complexo: $• \ \text{Todas as faces de mesma cor:}$ $\color{#3368b8}{\text{4 opções}}$ Possuímos quatro cores distintas, logo, é possível pintar todo tetraedro de mesma cor com 4 cores diferentes. $• \ \text{Três faces de mesma cor:}$ $\color{#3368b8}{\text{12 opções}}$ Comecemos por definir a face distinta, para ela, tem-se $4$ cores possíveis. Adiante, deve-se escolher outra cor para as demais faces, ou seja, possuímos $3$ cores disponíveis. Como resultado, segue:\begin{matrix} 4\cdot 3 = 12 \ \text{opções} \end{matrix}$• \ \text{Pares de faces com a mesma cor:}$ $\color{#3368b8}{\text{6 opções}}$ Para o primeiro par tem-se $4$ cores possíveis, assim como para o segundo há $3$. No entanto, repare que há uma repetição devido à geometria, isto é, pares $(AABB)$ e $(BBAA)$ são idênticos, tais quais pares $(ABAB)$ e $(BABA)$. Portanto, deve-se dividir o resultado por $2$ - já que estamos contando o dobro -, sendo o resultado:\begin{matrix}\dfrac{4\cdot 3}{2} = \text{6 opções} \end{matrix}$• \ \text{Um único par de cores idênticas}$ $\color{#3368b8}{\text{12 opções}}$ Para definir a cor do par há $4$ cores disponíveis, bem como $3$ opções para o próximo e $2$ àquele que o sucede. Contudo, novamente estamos contando o dobro dos resultados, visto que a $(AABC) \equiv (BCAA)$, então:\begin{matrix}\dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{2} = \text{12 opções} \end{matrix}$• \ \text{Todos os lados diferentes:}$ $\color{#3368b8}{\text{2 opções}}$ Este caso não é necessariamente mais complexo que os outros, porém a análise dele é relativamente distinta dos demais - o que pode acabar complicando a situação. Suponha que joguemos cores quaisquer no tetraedro, ao fixar qualquer lado, é possível perceber que só existe uma forma de produzir outro tetraedro, isto é, trocar duas cores (não fixadas) de lugar. Inclusive, só existem essas duas opções, pois a simetria do tetraedro força qualquer outra combinação a ser semelhante as duas já analisadas. Portanto,\begin{matrix}\text{Existem $36$ maneiras de pintar o tetraedro.} \end{matrix}