A conservação da quantidade de movimento durante e imediatamente após a disparada do projétil é tal que:$$m\cdot v = (M-m)\cdot v_a \implies v_a = \frac{m\cdot v}{M-m}$$Em que $v_a$ é a velocidade adquirida pelo atirador após o disparo. O tempo $t_1$ em que o projétil leva para chegar ao alvo é tal que:$$v = \frac{d}{t_1} \implies t_1 = \frac{d}{v}$$Neste mesmo intervalo de tempo, o atirador percorre uma distância $d_a$ , tal que:$$v_a = \frac{d_a}{t_1} \implies d_a = \frac{m\cdot d}{M-m}$$ Assim, a distância $D$ entre o projétil e o atirador, no instante em que se alcança o alvo é:$$D = d + d_a = \frac{d\cdot M}{M-m}$$ A velocidade relativa $v_r$ , entre o atirador e o som, no instante em que se alcança o alvo é:$$v_r = v_s-v_a = \frac{M\cdot v_s - m\cdot(v_s+v)}{M-m}$$ O tempo $t_2$ levado para o som alcançar o atirador, a distância $D$ , é:$$v_r = \frac{D}{t_2} \implies t_2 = \frac{d\cdot M}{M\cdot v_s - m\cdot(v_s+v)}$$ Portanto, o intervalo de tempo total $\Delta t$, do instante do disparo até o momento que o atirador ouve o ruído é:$$\Delta t \space = \space t_1 \space+ \space t_2 \space= \space \frac{d}{v} \space+ \space \frac{d\cdot M}{M\cdot v_s - m\cdot(v_s+v)}$$$$\boxed{\Delta t = \frac{d(v_s + v)(M-m)}{v(M\cdot v_s - m\cdot(v_s+v))}}$$ $$\text{Alternativa } \mathbb{(A)}$$